ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ

ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ - пропозиційне числення - розділ математичної логіки, який за обсягом збігається з логікою висловлювань і є її формальною побудовою. Існує багато шляхів формальної побудови логіки висловлювань, тобто можливі різні Ч. в. Проте при побудові кожного Ч. в. треба насамперед визначити його мову, тобто вказати вихідні символи (знаки логічних операцій - λ v Z> для заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації; пропозиційні змінні р, q, г...', дужки) і правила утворення формул із символів. В Ч. в. синтаксично визначаються правильно побудовані формули. Серед них вибираються аксіоми, що розглядаються як тавтології, тобто такі формули, які при всіх наборах значень для змінних, що їх складають, виявляються істинними. З аксіом за допомогою фіксованих правил виводу одержують теореми або доведені формули. Розрізняють класичне Ч. в. (яке містить у собі виключеного третього закон і класичне розуміння заперечення), а також різні некласичні Ч. в. Термін "Ч. в." вживають як синонім терміна "класичне числення висловлювань". Ч. в. становить основу формальної побудови всіх інших логічних теорій (див. числення предикатів), а завжди істинні формули Ч. в. використовуються як правила доведення наукових положень.

ЧИСЛЕННЯ ПРЕДИКАТІВ - розділ логіки формальної, в якому логіку предикатів подано як логічне числення. За систему аксіом у Ч. п. приймають усю систему аксіом числення висловлювань, до якої додають аксіоми, що відображають специфіку логіки предикатів. За основні правила виводу, як і в численні висловлювань, в Ч. п. беруть правило відокремлення і правило підстановки з певними уточненнями. Ч. п., таким чином, можна розглядати як розширене числення висловлювань. Розрізняють вузьке Ч. п. (функціональне числення першого порядку), коли кванторами пов'язуються лише предметні змінні, і розширене Ч. п. (функціональне числення вищих порядків), коли кванторами пов'язуються змінні предикатів і змінні висловлювань.

ЧИСЛЕННЯ - спосіб розв'язування задач у багатьох наукових теоріях, за яким кінцевий результат одержують шляхом оперування символами, прийнятими в цих теоріях для виразу їхніх об'єктів, за строго визначеними правилами. Розв'язування задач у вигляді Ч. проходить два етапи. Перший етап передбачає визначення необхідних символів і встановлення правил побудови з них формул і правил виводу одних формул з інших. При цьому повністю абстрагуються від конкретного змісту задачі, тому в результаті одержують певну систему символів, яку часто називають формалізмом. Другий етап - це інтерпретація одержаних формалізмів. До кожного Ч. висувають ряд вимог, зокрема: воно повинно бути ефективним, тобто приводити до розв'язання задачі через скінченне число дій. Характерною особливістю Ч. є автоматизм його виконання, що дає змогу застосовувати для розв'язування найскладніших задач обчислювальні машини. Важливу роль Ч. відіграють у математиці й логіці, особливо сучасній, де Ч. використовують не тільки для розв'язування окремих задач, а й для побудови цілих теорій (див. формалізація). Про окремі приклади Ч. див. Числення висловлювань і Числення предикатів.

ЧИСЛЕННЯ КЛАСІВ - розділ сучасної логіки, що за своїм змістом збігається з логікою класів, але відрізняється від неї за формою побудови. В системі логічних теорій Ч. к. утворюється як формальна алгебра тотожних перетворень за аналогією з булевою алгеброю (висловлювань), але як фрагмент теорії множин. Ч. к. охоплює аристотелеву силогістику, чого не можна досягти в численні висловлювань. Оскільки кожний клас можна подати через відповідний предикат, то числення класів перетворюється на фрагмент числення предикатів.

ЛОГІЧНІ ЧИСЛЕННЯ - формалізовані дедуктивні системи, подані разом з їх інтерпретацією. Традиція використовувати числення для представлення знань і вирішення задач певного виду має походження з геометрії Евкліда. Прикладами числень є диференціальне й інтегральне числення, що розроблені в працях Ньютона та Ляйбніца і становлять основу математичного аналізу. Уточнення цього поняття здійснене в логіці математичній. Загальна теорія числень побудована Гільбертом, який, до того ж, дав аксіоматичне представлення геометрії Евкліда. Першими власне Л.ч. є алгебра логіки Буля, а також числення висловлювань та поширене числення предикатів Фреге, які частково втілюють ідею Ляйбніда про універсальну мову, що формалізує будь-які міркування. Базовими Л. ч. є числення висловлювань і числення предикатів.

СПОЛУЧНИКИ ЛОГІЧНІ - результат формально-логічного уточнення змісту сполучників природної мови у вигляді спеціальних знаків функцій, за допомогою яких з простих або складних виразів формалізованої мови створюються інші, складніші вирази. С. л. класичного числення висловлювань (пропозиційними сполучниками) є кон'юнкція диз'юнкція "v", імплікація "з", еквіваленція штрих Шеффера "/" і символ Лука· севича "4-", які є експлікатами відповідно "і", "або", "якщо, то", "якщо і тільки якщо, то", "невірно, що... або невірно, що...", "невірно, що... і невірно, що...". На синтаксичному рівні ці С. л. виступають логічними функціями, що визначають види складних висловлювань (кон'юнктивних, диз'юнктивних і т.д.). На семантичному рівні С. л. визначають функціональну залежність значення істинності складних висловлювань від значень істинності простих висловлювань-складників. С. л. традиційно презентують за допомогою таблиць (матриць) істинності, які схожі на таблиці складення і множення і в яких фіксують значення істинності результату їх застосування до вихідних висловлювань стосовно кожного конкретного варіанта наборів значень істинності цих вихідних висловлювань (див. кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація).

ТАВТОЛОГІЯ ( від грецьк. ταύτό - те саме; λόγοζ - слово) - 1) У традиційній логіці - визначення, що повторює в іншій формі раніше сказане. 2) В логіці математичній - правильно побудована формула числення висловлювань, яка має значення "істина" для всякої системи істиннісних значень її змінних. Прикладом є (Akj тавтологіяА) - виключеного третього закон, де А - пропозиційна змінна, u - знак диз'юнкції) - знак заперечення. Т., і тільки вони, є вивідними (з аксіом) формулами класичного числення висловлювань.

ПОВНОТА у логіці - властивість певної аксіоматичної системи. Систему аксіом з певними правилами виводу вважають повного, якщо всі істинні теореми, які можна сформулювати мовою системи, доводяться у ній тільки на підставі цих аксіом, із застосуванням тільки цих правил виводу, повної системи як непоповнювальної. Повного вважається дедуктивна система, яка після приєднання до її аксіом невивідних у ній формул стає суперечливою. Сучасний розвиток логіки і математики показав, що повними бувають лише системи, бідні в мовному відношенні, напр. числення висловлювань Щ. одо багатих мовних систем (що включають, зокрема, елементарну арифметику) вимогу повноти не можна реалізувати, згідно з теоремою неповноти Геделя.

СИЛОГІСТИКА ( від грецьк. σνλλογιστικοζ - той, що робить умовивід) - розділ традиційної формальної логіки, в якому вивчають особливі види дедуктивних умовиводів (силогізми); перша, сформульованаАристотелем, логічна теорія дедуктивного виводу, який ґрунтується на врахуванні суб'єктно-предикативної структури висловлювань (суджень). У С. вивчають структуру силогістичного умовиводу, виділяють його види, з'ясовують, за яких умов з одного, двох або більше висловлювань - засновків з необхідністю випливає нове висловлювання - висновок, визначають, які модуси силогізму є правильними умовиводами, а які хибними і чому. Формалізація С. виявила, що вона може бути узагальнено виражена через числення предикатів. С. недостатня для опису всіх видів дедуктивних міркувань. У сучасній математичній логіці С. як окремий розділ не виділяють.

АКСІОМА (грецьк. άξιωμα - положення, що вважається справедливим) - вихідне твердження наукової теорії, котре приймається за істинне без його доведення. Аксіоматичний статус висловлювань теорії може обумовлюватись або їх самоочевидністю (а, отже, відсутністю потреби в їхньому обґрунтуванні), або їх граничним характером, тобто відсутністю в даній теорії більш фундаментальних положень, на підставі яких можна було б одержати зазначені висловлювання за правилами виводу цієї теорії. Логіко-методологічні функції А. полягають насамперед в окресленні через задану систему А. предметних меж теорії. Дотримання цих меж у процесі міркувань дозволяє уникнути позапредметного застосування тієї чи тієї теорії, котре призводило б до парадоксів. З іншого боку, будучи граничними положеннями теорії, А. є базовими підставами для розгортання теоретичної системи та доведення всіх її похідних істин (теорем). Завдяки наявності А. стає можливим доведення як логічна операція, бо коли б у теорії не існувало граничних підстав, то процедура обґрунтування будь-якої теореми перетворилася б на нескінченну. Звичайно за А. вибирають такі твердження теорії, про які наперед відомо, внаслідок їхньої простоти і очевидності, що вони істинні. Але це не обов'язково. А. може бути будь-яка теорема, якщо в сукупності з іншими А. вона відповідає таким вимогам: 1) вибрані як А. твердження теорії мають бути достатніми для виведення всіх інших тверджень теорії; 2) вони не повинні виводитись одне з одного; 3) це мають бути такі твердження, які б широко використовувалися для виведення (або доведення) теорем. Стимули вибору та оцінки А. визначаються за межами даної теорії й базуються на "внутрішньому" та "зовнішньому" досвіді. У формалізованих численнях математичної логіки А. є не змістові твердження, а формули, з яких за правилами виведення цього числення одержують інші формули (теореми), що їх доводять у цьому численні (див. аксіоматичний метод).